Cum m-am îndrăgostit de matematica

Ar fi fost trist ca fizionomia mea sufletească să rămână neschimbată după cinci luni în care am trăit într-o altă societate, în esenţă atât de asemănătoare cu cea românească şi totuşi atât de diferită. Am venit în America sperând ca experienţa sistemului de învăţământ de aici să fie o frumoasă adiţie la temelia construită de cel românesc. Adiţia pe care o aşteptam eu a devenit o a doua temelie, la fel de puternică şi coerentă ca şi prima. Da, am descoperit matematica şi da, vreau să continui să o descopăr.

Acest articol tratează modul în care se predă matematica în sistemul de învăţământ american. Vorbele mele sunt sincere şi curate, însă incomplete după doar cinci luni de experienţă. Îmi iau două angajamente în judecata mea: primul, să nu mă las purtată de un delir al generalizării şi al doilea, mai greu de păstrat, însă nu mai puţin important, să scriu în ipoteze şi nu în axiome.

După atâtea pseudo prologuri, să o luăm cu începutul. Acest articol nu este numai o descriere liniară a matematicii în America, dar şi un strigăt de ajutor către sistemul de învăţământ românesc şi, nu în ultimul rând, povestea marii mele iubiri pentru matematică. Şi pentru că traiectoria unei poveşti se rezumă adesea la momentul în care alegem să o începem, povestea mea ar fi incompletă fără să explic, măcar telegrafic, situaţia mea din România.

Nu am excelat niciodată la matematică. Reuşeam cu greu să am mult dorită medie de zece (matematica fiind de altfel singura materie care îmi punea mari dificultăţi), nu am reuşit să particip la Olimpiada de Matematică, deşi îmi doream cu ardoare să îmi dovedesc mie şi întregii lumi că abilităţile mele nu se opresc la literatură. Am fost olimpică la română din prima zi în care am putut participa la olimpiade şi până în ultima zi în România. Îmi aduc aminte de doamna învăţătoare care, vâzând calificativele mele din ce în ce mai mici la matematică, mi-a spus cu blândeţe că nu pot fi bună la amândouă, de colegii mei de şcoală generală, care nu ratau nicio ocazie pentru a-mi aminti că, dacă voi alege profilul matematică-informatică la liceu, voi rămâne corigentă şi mai departe, de aceeaşi mentalitate trecută la colegii mei de liceu, de data aceasta sub formă de întrebare: “Ce faci aici şi de ce nu eşti la filologie?”.

Întreaga mea viaţă a fost marcată de două mari mişcări: reuşitele mele la literatură şi încercarea mea continuă de a excela la matematică. În copilăria mea cunoşteam două tipuri de matematici: una ludică şi energizantă ca un combustibil tonic, pe post de poveste a istoriei numerelor, a matematicii din Antichitate şi încet, încet, a filosofiei, şi o a doua simplă şi mată, cu nişte cifre mototolite pe tablă şi caiete, cu care se fac anumite operaţii de origini misterioase, fără să se ştie cum, când şi de ce. Aceste două matematici nu aveau nicio conexiune pentru mine şi să le compar ar fi fost ca şi cum cineva mi-ar fi cerut să enumăr similitudini între o pictură de Monet şi prima lege a lui Newton. Citeam cărţile lui Ian Stewart despre istoria matematicii şi nu spuneam nimănui că îmi tremură măinile de fericire când întorc paginile şi că simt că niciodată în această viaţă nu va există ceva care să îmi ofere mai mult. Îmi aduc aminte un pasaj marcant pe care l-am citit în clasa a 9a, în care Pleşu explica că nu e de ajuns să îţi placă filosofia, trebuie să te placă şi ea înapoi. Mi-am spus resemnată că sunt osândită la a nu fi plăcută de matematică, şi atunci în zadar îmi place mie. M-am educat să uit gradual şi m-am coalizat pe Medicină, care pentru mine a însemnat un fericit compromis între antipozii gândirii mele.

Ajunsă în America şi nevoită să aleg şase materii, ştiam că una dintre ele trebuie să fie matematica, nu pentru că mi-aş fi dorit acest lucru, dar pentru că nu aveam de ales: urma să am Bacalaureatul la întoarcerea din România, cu matematica în calitate de probă principală. Matematica în America este împărţită în şase cursuri diferite, dintre care elevul îşi alege ce doreşte: algebră 1, geometrie, algebră 2, pre-analiză matematică, analiză matematică 1 şi analiză matematică 2. Deşi aveam acoperită numai 30% din materia de pre-analiză matematică, în urma unui mare moment de nebunie (cel mai bun din viaţa mea), am ales analiză matematică 1, iar începuturile au fost labirintice şi chinuitoare, însă pline de magie. Nu reuşeam să înţeleg nimic în prima săptămână şi plângeam zilnic după şcoală, gândindu-mă la neputinţa mea. Am început încet să înţeleg, apoi să zâmbesc, apoi să pun întrebări, pentru a ajunge după două luni să tremur de fericire la ore.

Dacă sunteţi neîncrezători şi vă spuneţi că nu se poate tremura de fericire la o oră de matematică, nu m-aţi văzut pe mine, mai ceva ca la Stăpânul Inelelor. Am fost mutată de la analiză matematică 1 la analiză matematică 2, am urcat încet, gradual, iar colegii de care mi-era o frică teribilă îmi sunt acum cei mai buni prieteni. Cred că trebuie să existe un anume set de condiţii care să îi permită unui elev să exceleze într-un anumit domeniu şi, dacă nu mi-a fost creat în România, se pare că a fost suficient aici. Dar în ce constă acest set de condiţii? Ce mi-a putut oferi matematica din America în cinci luni şi nu am putut găsi timp de şaisprezece ani în ţara mea?

O să prezint avantajele pe care le-am observat şi analizat în ordinea în care au ajuns să mă impresioneze pe mine.

Modul în care este predată matematica în America este caracterizat printr-o mare interdisciplinaritate. Într-un semestru de analiză matematică am acoperit tot ce am făcut la mecanică în România. De altfel, ni s-a spus încă din prima zi că analiza matematică merge mână în mână cu fizica şi că, pentru a înţelege cu adevărat conceptele predate, nu trebuie să le separăm vreodată. Ni s-a explicat apoi fascinanta istorie a lui Newton, urmată de o dezbatere de cincisprezece minute pe tema Leibniz versus Newton (pentru cei interesaţi, a câştigat Leibniz). La ecuaţii diferenţiale, ni s-au adus grafice reale cu diverse populaţii ca să înţelegem ecuaţia logistică din punct de vedere biologic şi acum câteva săptămâni profesorul de matematică şi-a adus chitara ca să ne arate cum se prezintă şirul lui Fibonacci din punct de vedere muzical. Matematica e interactivă, dinamică şi nu e îngrădită într-un patrulater pe care se scrie cu cretă. A preda matematica fără măcar să aminteşti că poate fi aplicată înseamnă a-i învăţa pe elevi să vadă o singură dimensiune fără să îi anunţi că există şi alte zece.

Când un profesor începe să predea o lecţie, primul lucru pe care îl face este să ofere o imagine de ansamblu a conceptului descris. Imaginaţi-vă un tablou frumos al unui peisaj de iarnă.  Hai să spunem că acest tablou este construit din pietre lipite, prea mici pentru a fi observate de la distanţă. Oferindu-i unui elev definiţii şi lâsându-l să descopere de unul singur cum să le combine, e ca şi cum am mări tabloul atât de mult, încât copilul să poată vedea numai o piatră. El trebuie să descopere încet, piatră după piatră, şi să ghicească ceea ce vrea să contureze tabloul. Din păcate, această muncă este ostenitoare şi riscantă, întrucât majoritatea nu au destul patos încât să aştepte să vadă întreg tabloul de iarnă, şi se opresc pe la vreun brad, sau mai rău, doar la prima piatră. Uneori e mai bine ca cineva să vină şi să spună:”Acesta este un tablou de iarnă!”, lăsăndu-i elevului rolul de a analiza în parte fiecare piatră. Acum câteva săptămâni am făcut Metoda Euler, lecţie în cadrul ecuaţiilor diferenţiale, prin care se aproximează anumite valori numerice ale unei funcţii. Metoda Euler este un algoritm desfăşurat în mai mulţi paşi, numărul de paşi fiind direct proporţional cu eficienţa aproximării. Odată ce elevul cunoaşte algoritmul, rezolvarea a zece asemenea paşi pare banală, torturantă şi de prisos. Am căutat mai multe manuale din România care să explice Metoda Euler şi nu am găsit un singur material care să prezinte problema din punct de vedere grafic. Unul singur. Pe de altă parte, profesorul meu de matematică american a început lecţia desenând un grafic şi explicându-ne cum să vizualizăm aproximările. Apoi ne-a explicat că acelaşi algoritm este folosit de calculatoare, că la vremea lui Euler, aceasta era singura modalitate prin care să poată aproxima valorile unei ecuaţii diferenţiale şi ne-a avertizat că munca va părea monotonă, însă ceea ce vom face va fi să imităm paşii marilor matematicieni. A menţionat apoi că Metoda Euler apare în filmul “Hidden Figures”, pe care, de altfel, ni-l recomandase cu câteva săptămâni înainte. Dintr-o dată, îmi doream din toată inima să rezolv ecuaţii diferenţiale, prin o sută de paşi dacă era nevoie.

Materialele online sunt omniprezente şi pot garanta că pot salva un elev, ceea ce se şi întâmplă în majoritatea cazurilor. Am descoperit Khan Academy printr-o întâmplare în România, devenind sursa mea principală pentru a învăţa biologie şi vorbeam de acest site oricând se ivea ocazia, încercând să îl mediatizez. În America, Khan Academy este parte intrinsecă a sistemului de învăţământ. De altfel, profesorul ne-a recomandat încă din prima zi să lucrăm pe site o dată cu fiecare lecţie, întrucât există şansa să înţelegem mai bine a doua oară. Sunt folosite filme de pe YouTube, imagini, discursuri ale unor diferiţi matematicieni. Ţi se repetă în permanenţă că nu e un capăt de lume dacă nu înţelegi din clasă, că fiecare are un mod diferit de a învăţa şi că tot ce trebuie să facem este să experimentăm până să îl descoperim.

În America, matematica este considerată muncă de echipă. În România, se aşteaptă de la elevi să înţeleagă ceea ce se predă din clasă, să priceapă conceptele intuitiv şi să poate rezolva probleme dificile în secunda următoare, astfel demonstrându-şi talentul matematic. Dacă acest lucru nu se întâmplă, înseamnă că elevul este lipsit de “sclipiri”, cum le numea unul dintre foştii mei profesori, şi că nu este valoros. Pe de altă parte, aici nu se aşteaptă să înţelegi imediat, iar, în cazul în care se întâmplă să ai acea “sclipire”, descoperirea ta va avea un rol bine-definit, acela de a-ţi ajuta colegii. Descoperim matematica împreună: ne întrebăm unii pe alţii, apoi profesorul dacă prima variantă nu funcţionează, râdem şi glumim, ne corectăm greşelile şi nu renunţăm. E de ajuns ca o singură persoană să înţeleagă pentru ca apoi să înţeleagă toată clasa. După ore, clasa de matematică nu este niciodată liberă, întrucât vei găsi elevi care sunt acolo fie să refacă teste rezolvate greşit (care sunt incredibil de grele), să termine exerciţii, să îi ajute pe cei din primele două categorii sau pur şi simplu să discute despre demonstraţii, matematicieni şi filme science-fiction. Se aşteaptă să greşeşti, să experimentezi, să te ridici şi să încerci din nou. Într-o oră obişnuită de matematică, profesorul predă în primele două zeci de minute, ajutat de materiale power point, pentru ca apoi să înceapă marele sport de echipă: ni se dau pagini întregi de probleme pe care trebuie să le rezolvăm până a doua zi, deci începem să ne ajutăm între noi, profesorul ajută individual elevii care cer ajutor, vorbim, împărtăşim vreo demonstraţie găsită pe YouTube cu o zi înainte (colegul de bancă mă tot bate la cap cu mulţimea lui Mandelbrot de câteva zile). În acest mod, nu numai că înţelegem conceptele predate, însă ne şi dezvoltăm unul altuia o bună cultură generală matematică.

Matematica din România pare a fi guvernată de un mare blestem şi nu înţeleg de ce, având în vedere că celelate materii sunt libere de acest dezavantaj. La română, doamna profesoară ne oferea mereu sugestii de cărţi, la biologie, aveam dezbateri întregi pe temele studiate, însă matematica pare că începe la prima pagină de manual şi se termină undeva nedefinit, pe la jumătatea vreunei culegeri de probleme. De ce? De ce, când în ea se ascund toate tainele vieţii, când e modul nostru fundamental de înţelegere a complexităţii universului ce ne înconjoară, când are atâtea poveşti de spus? Sunt atâtea filme, atâtea cărţi, atâtea lucruri care pot fi aduse elevului român şi nu trebuie arătate numai elevului olimpic şi talentat, nu, trebuie să fie o normalitate pentru toată lumea.

Matematica de acasă are caracter de sperietoare, pare elitistă şi distantă, rezervată minţilor luminate, când ar putea să fie tot atât de caldă ca citirea strofelor din “Luceafărul”. Matematica din România şi-a pierdut toate poveştile. E nevoie de o singură recomandare de carte, film sau un dialog la momentul potrivit ca să le aducem înapoi.

Karla Manea